Question

【題目】已知橢圓 的焦點坐標分別為,,為橢圓上一點，滿足且

(1) 求橢圓的標準方程:

(2) 設直線與橢圓交于兩點，點，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：第一問首先根據(jù)題中條件將涉及到的量設出來，之后結合橢圓的定義以及對應的線段的倍數(shù)關系，求得對應的邊長，利用余弦定理借用余弦值建立邊之間的等量關系式，從而求得的值，借用橢圓中的關系，求得b的值，從而求得橢圓的方程，第二問將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得兩根和與兩根積，從而求得線段的中點，利用條件可得垂直關系，建立等量關系式，借用判別式大于零找到其所滿足的不等關系，求得k的取值范圍.

詳解：（1）由題意設，則，又，，

在 中，由余弦定理得， ，

解得，，，所求橢圓方程為

（2）聯(lián)立方程，消去得 ，

則 ，，且…①

設的中心為，則 ，，

,,即， ，解得…②

把②代入①得，整理得，即

解得