Question

已知（+2x）ⁿ．
（1）若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^k，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．
而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等；n為偶數(shù)時(shí)，中間只有一項(xiàng)．
（2）由展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于n的方程，求出n．
而求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，可通過解不等式組求得，假設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，T_k+1項(xiàng)的系數(shù)為r_k，則有
解答：解：（1）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T₄和T₅，
∴T₄的系數(shù)=C₇³（）⁴2³=，
T₅的系數(shù)=C₇⁴（）³2⁴=70．
當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T₈．
∴T₈的系數(shù)=C₁₄⁷（）⁷2⁷=3432．
（2）由C_n+C_n¹+C_n²=79，可得n=12，設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大．
∵（+2x）¹²=（）¹²（1+4x）¹²，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₁₁．
T₁₁=（）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題，難度較大，易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念．