Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若直線過焦點(diǎn)，且與圓交于（其中在軸同側(cè)），求證： 是定值；

（Ⅱ）設(shè)拋物線在和點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，試問： 軸上是否存在點(diǎn)，使得為菱形？若存在，請說明理由并求此時直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：

(1)聯(lián)立直線與拋物線的方程整理可得是定值1.

(2)由題意可得當(dāng)直線的斜率為0，且時為菱形，此時.

試題解析：

解：拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)，聯(lián)立與有，

則，且， ．

（Ⅰ）若直線過焦點(diǎn)，則，則， ．

由條件可知圓圓心為，半徑為1，

由拋物線的定義有，則， ，

，

(或)

即為定值，定值為1．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0，且時為菱形．理由如下：

由有，則，

則拋物線在處的切線為，

即……①

同理拋物線在處的切線為……②

聯(lián)立①②解得，代入①式解得，即．

又，所以，

即的中點(diǎn)為．

則有軸．若為菱形，則，所以，

此時， ，則．

方法二：設(shè)， ，由有，則，

若為菱形，則，則，

即，

則， ,

則拋物線在處的切線為，即……①

同理拋物線在處的切線為……②

聯(lián)立①②．

又的中點(diǎn)為，所以．

方法三：設(shè)， ，由有，則，

若為菱形，則，

則，即，

則，

此時直線 ，則

所以．