Question

【題目】如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），點(diǎn)M（x0 ， y0）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B（M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O），當(dāng)x0=1﹣ 時(shí)，切線MA的斜率為﹣ ．

（1）求P的值；
（2）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閽佄锞�C1：x2=4y上任意一點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y′= ，且切線MA的斜率為﹣ ，

所以設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），得 ，解得x=﹣1，y= = ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1， ），

故切線MA的方程為y=﹣ （x+1）+

因?yàn)辄c(diǎn)M（1﹣ ，y0）在切線MA及拋物線C2上，于是

y0=﹣ （2﹣ ）+ =﹣ ①

∴y0=﹣ =﹣ ②

解得p=2

（2）解：設(shè)N（x，y），A（x1， ），B（x2， ），x1≠x2，由N為線段AB中點(diǎn)知x= ③，y= = ④

切線MA，MB的方程為y= （x﹣x1）+ ，⑤；y= （x﹣x2）+ ⑥，

由⑤⑥得MA，MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)滿足x0= ，y0=

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣ ⑦

由③④⑦得x2= y，x≠0

當(dāng)x1=x2時(shí)，A，B丙點(diǎn)重合于原點(diǎn)O，A，B中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x2= y

因此中點(diǎn)N的軌跡方程為x2= y

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個(gè)前提下，得到相應(yīng)的方程，解出p值．（2）由題意，可先設(shè)出A，B兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，直接求解出中點(diǎn)N的軌跡方程