Question

已知函數(shù)，f '（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f '（x）是偶函數(shù)且f '（1）=0.

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的最小值；

⑶若過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴；⑵的最小值為；⑶.

【解析】

試題分析：⑴，由是偶函數(shù)得.又，所以，由此可得解析式；

⑵對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，則只需即可.所以接下來就利用導(dǎo)數(shù)求在區(qū)間上的最大值與最小值，然后代入解不等式即可得的最小值．⑶易知點(diǎn)不在曲線上.凡是過某點(diǎn)的切線（不是在某點(diǎn)處的切線）的問題，都要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)然后列方程組..

設(shè)切點(diǎn)為．則．又，∴切線的斜率為．

由此得，即．下面就考查這個(gè)方程的解的個(gè)數(shù).

因?yàn)檫^點(diǎn)，可作曲線的三條切線，所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．即函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．接下來就利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖象研究這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：⑴∵，1分

由是偶函數(shù)得.又，所以3分

∴．4分

⑵令，即，解得．5分

						+
			極大值		極小值

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，，．6分

則對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有

，所以．

所以的最小值為．8分

⑶∵點(diǎn)不在曲線上，

∴設(shè)切點(diǎn)為．則．

∵，∴切線的斜率為．

則，即．10分

因?yàn)檫^點(diǎn)，可作曲線的三條切線，

所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

即函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．11分

則．

令，解得 或．

	+				+
		極大值		極小值

∴ 即 解得．12分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系；3、函數(shù)的零點(diǎn).