Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點．

（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；

（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（1）x2＝2y（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，消去，設(shè)，，，，運用韋達(dá)定理，以及中點坐標(biāo)公式，可得，即可得到所求拋物線方程；

（2）求得的導(dǎo)數(shù)，可得拋物線在，處的切線的斜率，由點斜式方程和點，滿足拋物線方程，可得在，處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，即可得到所求點所在的定直線方程．

解：（1）設(shè)直線的方程為，代入拋物線，

可得，

設(shè)，，則，

點為線段的中點，可得，即，

則拋物線的方程為；

（2）證明：設(shè)，，點為線段的中點，

可得，，

由的導(dǎo)數(shù)為，可得拋物線在處的切線斜率為，切線方程為，

由，可得，①

同理可得，②

①②可得，

即為，即．

可得交點在一條定直線上．