Question

18．已知當x∈[0，1]時，函數(shù)y=（mx-1）² 的圖象與y=$\sqrt{x}$+m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （0，1]∪[3，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （0，$\sqrt{2}$]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得：y=（mx-1）² 為二次函數(shù)，在區(qū)間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數(shù)，（$\frac{1}{m}$，+∞）為增函數(shù)，分2種情況討論：①、當0＜m≤1時，有$\frac{1}{m}$≥1，②、當m＞1時，有$\frac{1}{m}$＜1，結(jié)合圖象分析兩個函數(shù)的單調(diào)性與值域，可得m的取值范圍，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由于m為正數(shù)，y=（mx-1）² 為二次函數(shù)，在區(qū)間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數(shù)，（$\frac{1}{m}$，+∞）為增函數(shù)，
函數(shù)y=$\sqrt{x}$+m為增函數(shù)，
分2種情況討論：
①、當0＜m≤1時，有$\frac{1}{m}$≥1，
在區(qū)間[0，1]上，y=（mx-1）² 為減函數(shù)，且其值域為[（m-1）²，1]，
函數(shù)y=$\sqrt{x}$+m為增函數(shù)，其值域為[m，1+m]，
此時兩個函數(shù)的圖象有1個交點，符合題意；
②、當m＞1時，有$\frac{1}{m}$＜1，
y=（mx-1）² 在區(qū)間（0，$\frac{1}{m}$）為減函數(shù)，（$\frac{1}{m}$，1）為增函數(shù)，
函數(shù)y=$\sqrt{x}$+m為增函數(shù)，其值域為[m，1+m]，
若兩個函數(shù)的圖象有1個交點，則有（m-1）²≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m為正數(shù)，則m≥3；
綜合可得：m的取值范圍是（0，1]∪[3，+∞）；
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)圖象的交點問題，涉及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定實數(shù)m的分類討論．