Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A¢B¢C¢D¢中，AC¢為對(duì)角線，M、N分別為BB¢、B¢C¢的中點(diǎn)，P為線段MN中點(diǎn)．

（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求四面體P-AC¢D¢的體積：

（3）求DP和AC¢所成角．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）過(guò)P作PH^BC于點(diǎn)H，連結(jié)DH，∵ 面BC¢上面AC，則PH^面ABCD， ∴ DP和面ABCD所成角即為ÐHDP． 在正方形BCC¢B¢，M、N分別為BB¢、B¢C¢中點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)， 又B¢C¢=1，則PH=，BH=，CH=，DH= 在RtDPHD中，tanÐHDP= （2）連BC¢和B¢C交于Q，因?yàn)?i>BCC¢B¢為正方形，則PQ^BC¢則PQ= 而SDAC¢D¢=  ∴ VP-AC¢D¢=  （體積單位） （3）延長(zhǎng)BC至E，延長(zhǎng)B¢C¢至F，使CE=C¢F=1，連結(jié)DF，則DF∥AC¢，過(guò)P作 PH¢^B¢C¢于點(diǎn)H¢ ∴ 異面直線AC¢和DP所成角轉(zhuǎn)化為求ÐPDF，連結(jié)PF DP=  DF= 在RtDPFH¢，中，PF= 在DDPF中，cosÐPDF= ∴ ÐPDF= 或解：建立如圖空間直角坐標(biāo)系 A(0，0，1)，C¢(1，1，0)，則=(1，1，-1)， D(0，1，1)，P  則 設(shè)和夾角為q cosq=  q=