Question

試證明：在平面上所有過點（

2

，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點）的直線有且只有一條．

Answer 1

分析：①先證明直線的存在性：由于直線y=0經(jīng)過點（

2

，0），且至少經(jīng)過兩個有理點（0，0）、（1，0），可得一定存在滿足條件的直線．
②再證明唯一性：假設(shè)除了直線y=0外，經(jīng)過點（

2

，0），還有一條直線y=k（x-

2

） 經(jīng)過2個不同的有理點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求得k=

y1-y2

x1-x2

為有理數(shù)．而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1- 2

是無理數(shù)，矛盾，故假設(shè)不正確．綜合①②，命題得證．

解答：解：①先證明直線的存在性：
由于直線y=0經(jīng)過點（

2

，0），且至少經(jīng)過兩個有理點（0，0）、（1，0），故一定存在過點（

2

，0），且至少經(jīng)過兩個有理點的直線．
②再證明唯一性：假設(shè)除了直線y=0外，經(jīng)過點（

2

，0），還有一條直線y=k（x-

2

） 經(jīng)過2個不同的有理點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
其中，x₁，y₁，x₂，y₂都是有理數(shù)，且x₁≠x₂，y₁≠y₂．
則有 y1=k(x1-

2

)，且y2=k(x2-

2

)，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

 為有理數(shù)．
而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1- 2

 是無理數(shù)，矛盾，故假設(shè)不正確．
綜上，在平面上所有過點（

2

，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點）的直線有且只有一條．

點評：本題主要考查直線的一般式方程，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于基礎(chǔ)題．