Question

如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB

   （I）求證：AD⊥B₁D；

   （II）求證：A₁C//平面AB₁D；

   （III）求二面角B―AB₁―D的大小.

Answer 1

解法一（Ⅰ）證明：∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC，

∴BD是B₁D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中點，

∴AD⊥BD，

根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D

（Ⅱ）解：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵AA₁=AB  ∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

   （Ⅲ）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A₁ABB₁內(nèi)作FG⊥AB₁于點G，連接DG.  ∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

設A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，F(xiàn)G=?BE=

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小為

解法二：

建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，  

則

證明：，

∴   ∴

即 AD⊥B₁D 

（Ⅱ）解：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵

 

，

（Ⅲ）設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是

設二面角B―AB₁―D的大小θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小為