Question

6．一半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖象P₀點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間，且點(diǎn)P距離水面的高度f(wàn)（t）（米）與時(shí)間t（秒）滿足函數(shù)：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）．
（1）求函數(shù)f（t）的解析式；
（2）點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當(dāng)x=0時(shí)，z=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2=6，）⇒sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）=1，$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$解得t．

解答 解：（1）依題意可知z的最大值為6，最小為-2，∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B=6}\\{-A+B=-2}\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}{A=4}\\{B=2}\end{array}\right.$，
$\frac{5×2π}{60}\frac{π}{6}$，∴f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t+$φ）+2，當(dāng)t=0時(shí)，f（t）=0，得sinφ=-$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
故所求的函數(shù)關(guān)系式為f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2，
（2）令f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2=6，）⇒sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）=1，
$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$
得t=16，
故點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要16s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式，屬于中檔題．