Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*）．
（1）求S1 ， S2 ， S3的值；
（2）求出Sn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），

∴n≥2時(shí)，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．

∴n=1時(shí)， ，解得a1= =S1．

n=2時(shí)， ，解得S2= ．

同理可得：S3=

（2）解：由（1）可得：n≥2時(shí)，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．

化為：Sn= ．（*）

猜想Sn= ．

n≥2時(shí)，代入（*），左邊= ；右邊= = ，

∴左邊=右邊，猜想成立，n=1時(shí)也成立．

∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ，n=1時(shí)也成立．

∴Sn= ，an=

（3）解：bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 ，

∴n=2k（k∈N*）時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為

Tn= ﹣ + +…+ ﹣

= = ﹣ ．

n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為

Tn= ﹣ + +…﹣ +

= = + ．

∴Tn= ×

【解析】（1）由（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），分別取n=1，2，3即可得出．（2）由（1）可得：n≥2時(shí)，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．化為：Sn= ．猜想Sn= ．代入驗(yàn)證即可得出．（3）bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 ，對(duì)n分類討論，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．