Question

17．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設△AOB的面積S（O為原點）．
（1）用θ、p表示S；
（2）求S的最小值；當最小值為4時，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）設過焦點F（$\frac{p}{2}$，0）傾斜角為θ的直線的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數），代入拋物線方程，運用韋達定理和三角形的面積公式，化簡整理即可得到S的解析式；
（2）由正弦函數的值域，可得sinθ=1時取得最小值，求得最小值；再令最小值為4，解得p，進而得到拋物線的方程．

解答 解：（1）設過焦點F（$\frac{p}{2}$，0）傾斜角為θ的直線的參數方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數），代入拋物線的方程可得，
t²sin²θ-2ptcosθ-p²=0，t₁+t₂=$\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}$，
即有S=$\frac{1}{2}$•$\frac{P}{2}$•|t₁-t₂|sinθ=$\frac{1}{4}$psinθ•$\sqrt{（\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}）^{2}+\frac{4{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}}$
=$\frac{1}{4}$psinθ•$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{{p}^{2}}{2sinθ}$；
（2）當sinθ=1，即θ=$\frac{π}{2}$時，S取得最小值$\frac{1}{2}$p²；
當最小值為4時，即為$\frac{1}{2}$p²=4，解得p=2$\sqrt{2}$，
即有拋物線的方程為y²=4$\sqrt{2}$x．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，注意運用直線的參數方程，考查三角函數的性質和運用，以及化簡整理的能力，屬于中檔題．