Question

15．過拋物線y²=2px定點（p＞0）上一定點P（x₀，y₀）（y₀≠0）分別作斜率為k和-k的直線l₁，l₂，設l₁，l₂分別與拋物線y²=2px交于A，B兩點，證明：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用點差法，可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k_AP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，k_BP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，再由l₁，l₂斜率相反，得到答案．

解答 證明：∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，
∴y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減得：y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_AP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，k_BP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，
∵k_AP=-k_BP，
∴$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$=-$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，
∴y₁+y₂=-2y₀，
∴k_AB=$\frac{2p}{-2{y}_{0}}$=$-\frac{p}{{y}_{0}}$

點評 本題考查直線與拋物線的性質(zhì)和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答