Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),，圓心在直線(xiàn)上

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)與圓C相切且與軸截距相等，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知線(xiàn)段AB為圓C的弦，圓心C定在弦AB的垂直平分線(xiàn)上，寫(xiě)出線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)方程，與直線(xiàn)聯(lián)立，即得圓心C坐標(biāo)，計(jì)算|AC|長(zhǎng)，即為圓C半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)與坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y＝kx；當(dāng)與坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為x+y＝b，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可得切線(xiàn)方程．

（1）由題意可知AB為圓C的弦，其垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心C，

∵A（0，0）和B（7，7），∴kAB＝1，線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的斜率為-1，

又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為：y﹣＝-（x-），即x+y-7＝0，

又圓心在直線(xiàn)4x-3y＝0上，聯(lián)立得：，

解得：，即圓心C坐標(biāo)為（3，4），

∴圓C的半徑|AC|＝5，

則圓C的方程為：（x-3）2+（y﹣4）2＝25；

（2）若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切線(xiàn)方程為y＝kx，即kx﹣y＝0，

圓心C到切線(xiàn)的距離d＝，

整理得：16k2+24k+9＝0，解得：k＝，

所求切線(xiàn)的方程為：y＝；

若截距不為0時(shí)，設(shè)圓的切線(xiàn)方程為：x+y＝b，

圓心C到切線(xiàn)的距離d＝＝r＝5，解得b＝7±5，

所求切線(xiàn)方程為，

綜上，所有滿(mǎn)足題意的切線(xiàn)方程有3條，分別為.