Question

已知函數(shù)，.

(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍.

注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入函數(shù)解析式，并將函數(shù)解析式中的絕對(duì)值去掉，寫成分段函數(shù)，并將定義域分為兩部分：與，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在區(qū)間與上的最大值與最小值，然后進(jìn)行比較，最終確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求參數(shù)的取值范圍，不過在去絕對(duì)值符號(hào)的時(shí)候要對(duì)自變量的范圍進(jìn)行取舍（主要是自變量的范圍決定的符號(hào)）.

試題解析：(Ⅰ) 若，則.

當(dāng)時(shí)，，

，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上有最小值，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110123311970688300/SYS201311012332309933508246_DA.files/image023.png">，

，而，

所以在區(qū)間上有最大值.

(Ⅱ) 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110123311970688300/SYS201311012332309933508246_DA.files/image027.png">．

  由，得．            （*）

（�。┊�(dāng)時(shí)，，，

不等式（*）恒成立，所以；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，由得，即，

現(xiàn)令， 則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110123311970688300/SYS201311012332309933508246_DA.files/image035.png">，所以，故在上單調(diào)遞增，

從而的最小值為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110123311970688300/SYS201311012332309933508246_DA.files/image045.png">恒成立等價(jià)于，

所以；

②當(dāng)時(shí)，的最小值為，而，顯然不滿足題意.

綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分段函數(shù)、參數(shù)分離法