Question

橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足．

（1）若為常數(shù)，試用直線的斜率表示的面積；

（2）若為常數(shù)，當(dāng)的面積取最大值時(shí)，求橢圓的方程；

（3）若變化且，試問(wèn)：實(shí)數(shù)和直線的斜率分別為何值時(shí)，橢圓的短半軸取得最大值，并求此時(shí)橢圓的方程．

Answer 1

（1）  （2）  （3）

解析:

設(shè)橢圓方程為．

       由，，得．

       故橢圓方程為．        ①

       （1）因?yàn)橹本�交橢圓于，兩點(diǎn)，

       并且．

．

即

把代入橢圓得且．

，             ③

．                 ④

因此，．

聯(lián)立②③得．

（2），

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)．

又，

，，

將，代入④，得．

故橢圓方程為．

（3）由②③聯(lián)立得，，

把代入④得．

易知，時(shí)，是的減函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)，時(shí)，橢圓短半軸取得最大值，

此時(shí)橢圓方程為．