Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m）
（Ⅰ）當m=-1時，求函數f（x）的最小值，并求此時x的值；
（Ⅱ）當x∈[0， 

π

6

]時，-4＜f（x）＜4恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m），將m=-1代入我們易求出函數f（x）的解析式，然后根據正弦型函數求最值的方法，即可求出函數f（x）的最小值，并求此時x的值；
（2）由當x∈[0， 

π

6

]時，-4＜f（x）＜4恒成立，我們可以構造關于實數m的不等式，解不等式即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：f(c)=2cos2x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）當m=-1時，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
當2x+

π

6

=2kπ-

π

2

  (k∈Z)時，
函數f（x）取最小值，f（x）_min=-2，
此時x=kπ-

π

3

  (k∈Z)
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

6

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

故

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴2+m≤f（x）≤3+m
依題意當x∈[0，

π

6

]時，
-4＜f（x）＜4恒成立
∴

f(x)min＞-4  f(x)max＜4

，
即

2+m＞-4 3+m＜4

解得-6＜m＜1，為所求的實數m的取值范圍

點評：本題考查的知識點是平面向量數量積運算，及正弦型函數的最值及性質，函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．