Question

12．（文科學生做）已知函數(shù)f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）．
（1）比較f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）與0的大小關系；
（2）猜想f（x）的正負，并證明．

Answer 1

分析 （1）將-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$代入函數(shù)表達式求出函數(shù)值，判斷即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結論．

解答 解：（1）∵f（x）=tanx-sinx，
∴f（-$\frac{π}{3}$）=tan（-$\frac{π}{3}$）-sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
f（-$\frac{π}{4}$）=tan（-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$）=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
f（$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$-sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
f（$\frac{π}{4}$）=tan$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0；
（2）由（1）猜想，
x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，f（x）＜0，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＞0
x=0時，f（x）=0．
證明如下：f′（x）=$\frac{1{-cos}^{3}x}{{cos}^{2}x}$，
∵x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），∴cosx∈（0，1]，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）遞增，計算得f（0）=0，
∴x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時，f（x）＜0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＞0
x=0時，f（x）=0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．