Question

例2：若等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為A，前n項(xiàng)之積為B，各項(xiàng)倒數(shù)的和為C，求證：B2=

An

Cn

．

Answer 1

分析：先設(shè)此等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q．分當(dāng)q=1和q≠1時(shí)，用a₁分別表示出S，C和B，進(jìn)而得證B2=

An

Cn

．

解答：解：設(shè)此等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q
若q=1，則S=na₁，C=

n

a1

，B=a₁ⁿ，所以B²=a₁²ⁿ，

An

Cn

=a₁²ⁿ所以左邊等于右邊
若q≠1，則S=

a1(qn-1)

q-1

，C=

(1- 1 q n)

a1(1- 1 q )

=

qn

a1[qn-qn-1-1]

，B=a₁ⁿq^{[n（n-1）/2]}
所以

An

Cn

=[a₁²q^n-1]ⁿ=a₁²ⁿq^[n（n-1）]
B²=a₁²ⁿq^[n（n-1）]
所以B2=

An

Cn

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．