Question

（本小題滿分14分）

 如圖，三棱錐中，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若為線段上的點，設，問為何值時能使

直線平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

Answer 1

解析:

方法一：

（Ⅰ） ，

∴ ，，

 ，

∴ 平面．                         　    ……………………3分

（Ⅱ）當M為PC中點時，即時，直線平面，　　    …………4分

證明如下：

由（Ⅰ）知平面，平面，∴ ，　  ……5分

在等腰中， M為中點，∴ ，          …………6分

又，

∴ 平面．                                　   ……………8分

（Ⅲ）

由(Ⅱ)知當M為PC中點時，平面， 平面，

∴ 平面平面．                         ……………………9分

過作于，∴ 平面                                                         

作于，連結，由三垂線定理可知，．

∴ 為二面角的平面角．            ……………………11分

設，則．

在中，，

由(Ⅰ)知平面，平面，∴ ．

在中，．

由面積公式得,,             ……………12分

同理，在中，由面積公式得， ……………13分

在中，．

所以二面角的大小為．        ……………………14分

方法二：

(Ⅰ)同方法一．                                       　     …………………3分

(Ⅱ)如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．                      

設，則，  　   …………………4分

當M為PC中點時，即時，直線平面．    …………………5分

證明如下：

當M為PC中點時，．

，,．

,                    

∴ ，即．                           ………………6分

，            

∴ ，即．                            ………………7分

又，∴ 平面．                 ……………8分

（Ⅲ）可證平面．                                   

則平面法向量為，                           ……………9分

下面求平面PBC的法向量．

設平面PBC的法向量為，

,，

，

令，則，                      　    ……………………12分

．

所以二面角的大小為．           ……………………14分