Question

3．三棱錐P-ABC，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，此三棱錐的內切球的半徑為$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 利用三棱錐P-ABC的內切球的球心，將三棱錐分割成4個三棱錐，利用等體積，即可求得結論．

解答 解：由題意，設三棱錐P-ABC的內切球的半徑為r，球心為O，
則由等體積V_B-PAC=V_O-PAB+V_O-PAC+V_O-ABC
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×r$+$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×r$，
∴r=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查三棱錐P-ABC的內切球，考查學生分析轉化問題的能力，正確求體積是關鍵．