Question

3．已知三棱錐V-ABC，VA⊥平面ABC，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=VA=2，三棱錐V-ABC的外接球的表面積為（　�。�

• A． 16π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． $\frac{20\sqrt{5}π}{3}$
• D． 20π

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的外接圓直徑2r=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴r=2，
∵VA⊥面ABC，VA=2，
由于三角形OVA為等腰三角形，
則有該三棱錐的外接球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+（\frac{1}{2}×2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\sqrt{5}$）²=20π．
故選：D．

點評 本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．