Question

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對于任意給定的a，b∈R，a*b為唯一的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對任意a∈R，a*0=a；
（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+a*c+c*b-2c；
關(guān)于函數(shù)f（x）=（2x）*

1

2x

的性質(zhì)，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值是3；
②|f（x）-1|≥2；
③函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

1

2

）（

1

2

，+∞）
其中所有正確說法的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于新定義的運(yùn)算問題常常通過賦值法得到一般性的結(jié)論，對f（x）的解析式進(jìn)行化簡，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性和最值，再利用函數(shù)奇偶性的定義分析出函數(shù)的奇偶性，可得答案．

解答： 解：在（3）中，令c=0，則aa*b=ab+a+b⇒f（x）=1+2x+

1

2x

，
因x沒有范圍故不能直接利用不等式求最值，故①不正確；
②|f（x）-1|=|2x+

1

2x

|=|2x|+x

1

2x

|≥2，故正確；
∵ff（x）=1+2x+

1

2x

，∴函數(shù)非奇非偶，即③不正確；
由f′（x）=2-

1

2x2

＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

1

2

）、（

1

2

，+∞），故正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題是一個新定義運(yùn)算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運(yùn)算解決問題的能力．