Question

如圖，V是邊長為a的等邊△ABC所在平面外一點(diǎn)，且VA=VB=VC=a，E、F分別為VA、BC的中點(diǎn)，?

(1)求證：EF是VA與BC的公垂線；

(2)求VA與BC的距離；

(3)求VC與BE所成角的大小；

(4)VF與BE所成角的大小.

Answer 1

解析：(1)連結(jié)VF、AF.?

∵△ABC≌△VBC,∴AF=VF.?

又E 為VA的中點(diǎn)，?

∴EF⊥VA.?

同理可得EF⊥BC.?

∴EF是VA與BC的公垂線.?

(2)∵EF是VA與BC的公垂線，?

∴EF的長即為VA與BC的距離.?

由所有的棱長均為a，求得AF=VF=.?

進(jìn)而可得EF =.  ∴VA與BC的距離為.?

 (3)∵E為VA的中點(diǎn)，?

∴取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、BG.則EG∥VC.?

∴∠BEG或其補(bǔ)角即為VC與BE所成的角.?

在△BEG中，BE=BG=,EG=.?

由余弦定理可得  cos∠BEG=.?

∴VC與BE所成的角為arccos.?

 (4)∵E為VA的中點(diǎn)，?

∴取AF的中點(diǎn)M，連結(jié)EM、BM，則EM∥VF.?

∴∠BEM或其補(bǔ)角即為VF與BE所成的角.?

在△BEM中，BE=,EM=.?

而BM=MF²+BF²=.?

由余弦定理得cos∠BEM =.?

∴VF與BE所成的角為arccos.