Question

設(shè)函數(shù)，且在閉區(qū)間上，只有

   （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；

   （Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

⑴既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，⑵802個(gè)

解析:

（Ⅰ）方法一：若是偶函數(shù)，則

于是有，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾

故不是偶函數(shù)；

若是奇函數(shù)，則，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾，故若不是奇函數(shù)

所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)

方法二：因?yàn)樵陂]區(qū)間上，只有故，即不是奇函數(shù)

又由知，，而，所以，又

所以，可見(jiàn)不是偶函數(shù)

所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)

（Ⅱ）方法一：因?yàn)?img width=312 height=21 id="圖片 264157" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/138/86338.gif">

所以，即

所以，即

又，所以和都是方程的根

由和及得到

故方程在閉區(qū)間上的根至少有802個(gè)

如果存在使得，則

但，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾

故在上只有兩個(gè)根，即和

設(shè)是方程在閉區(qū)間上任意一個(gè)根，則存在整數(shù)，使得

，且

由上可知或，所以或（）

所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個(gè)根

方法二：由

知是周期為10的函數(shù)，

由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

又因?yàn)?img width=60 height=21 id="圖片 264202" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/147/86347.gif">在上僅有所以在上沒(méi)有根

即在上只有兩個(gè)根，即和

于是，在內(nèi)只有400個(gè)根，在上僅有2個(gè)根，在內(nèi)僅有400個(gè)根，在上沒(méi)有根。

所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個(gè)根