Question

2．討論函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+ax²+1的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增、導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減對(duì)a分3種情況進(jìn)行討論

解答 解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+a-1}{x}$，
①當(dāng)a-1≥0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
②當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，
當(dāng)x∈（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）時(shí)，f′（x）＞0；
x∈（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）上單調(diào)增加，在（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）單調(diào)減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，考查分類討論思想，是一道中檔題．