Question

長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝1，AA₁＝2，E是側(cè)棱BB₁的中點．

(1)求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；

(2)求三棱錐A－A₁D₁E的體積；

(3)求二面角E－AD₁－A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意：，，　　　　　2分則平面　　　　3分 　　(2)　　　　3分(寫出公式得2分，計算1分) 　　(3)方法一：向量法以D為原點，DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，A1(1，0，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，1) 　　∴　　　5分 　　設(shè)平面AD1E的法向量為 　　，即 　　令，則　　　　7分 　　又是平面AA1D的法向量，則　8分 　　，　　　　10分 　　而二面角為銳二面角，故其余弦值為　　　　12分 　　方法二：傳統(tǒng)法(供參考) 　　取的中點，連，則、，所以平面．過在平面中作，交于，連，則， 　　所以為二面角的平面角．在中， 　　所以．