Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)，時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng) 時， ，分類討論：（1） ；（2），可得單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng) 時，要 證

轉(zhuǎn)化為證 ，設(shè)，判斷其單調(diào)性，得 ，此題得證。

（1）當(dāng)時，

討論：1’當(dāng)時， ， ，

此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間

2’當(dāng)時，令 或

①當(dāng)，即時，此時

此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間

②當(dāng)，即時，此時在和上函數(shù)，

在上函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

③當(dāng)，即時，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明：當(dāng)時

只需證明： 設(shè)

問題轉(zhuǎn)化為證明，

令， ，

為上的增函數(shù)，且，

存在唯一的，使得，

在上遞減，在上遞增

不等式得證