Question

【題目】已知函數(shù).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）增區(qū)間，減區(qū)間；（I）．

【解析】

（I）求導(dǎo)數(shù)，由于分母為正，因此對(duì)分子（設(shè)其為）再求導(dǎo)，以確定正負(fù)，仍不能確定其零點(diǎn)、極值、正負(fù)，因此再一次求導(dǎo)，可確定出的最值與單調(diào)性，從而可確定的單調(diào)性與零點(diǎn)，最終可確定的單調(diào)區(qū)間；

（II）分離常數(shù)，得，為此求出函數(shù)在上的最小值．這可利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．

函數(shù)的定義域是，

，

設(shè)，則，

令，則，

時(shí)，，在上為增函數(shù)，

時(shí)，，在上為減函數(shù)，

∴在處取得極大值，而，

∴，函數(shù)在上為減函數(shù)．

于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（II）不等式等價(jià)于不等式，由可得：

，

設(shè)，，

則，

由（I）知，即

∴，，于是在上為減函數(shù)，

故函數(shù)在上的最小值為，

所以的最大值為．