Question

如圖，AD，BE，CF分別是銳角△ABC的三條高，垂足分別為D，E，F(xiàn)，以BC為為直徑的圓O和AD交于G點(diǎn)，過G的直徑的另一端點(diǎn)為K，若EK，F(xiàn)K和BC分別交于M，N。求證：OM=ON。

Answer 1

證明：AD，BE，CF分別是銳角△ABC的三條高

    ∴它們必相交于一點(diǎn)，記為H

∴H為△ABC的垂心      （5分）

連結(jié)GE，GM，DE

∵GK是⊙O的直徑  ∴∠GEM = 90°

∵∠GDM = 90°  ∴G，D，M，E四點(diǎn)共圓  （10分）

∴∠GME = ∠GDE

又∵H，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠GDE = ∠HDE = ∠HCE

∴∠GME = ∠HCE = ∠FKE， ∴GM∥FK     （5分）

∴∠OMG = ∠ONK，

∵∠GOM = ∠KON， GO = KO，

∴△OMG≌△ONK，∴OM = ON         （20分）