Question

12．定義在R上的奇函數(shù)f（x）為減函數(shù)，設(shè)a+b≥0，給出下列不等式：
①f（a）•f（-a）≤0；
②f（a）•f（-a）≥0；
③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；
④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正確的不等式序號(hào)為（　　）

• A． ②③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ①③

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可以證明對(duì)任意的x，都有f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，由此可得①正確②不正確；再根據(jù)奇函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，結(jié)合a+b≥0，即a≥-b，且函數(shù)f（x）為定義在R上的減函數(shù)，f（a）≤f（-b），同理可得f（b）≤f（-a）相加即得：f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），從而得到③正確④不正確

解答 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x），可得f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，
由此可得①f（a）•f（-a）≤0正確②不正確；
∵a+b≥0，即a≥-b，且函數(shù)f（x）為定義在R上的減函數(shù)，
∴f（a）≤f（-b），同理可得f（b）≤f（-a）
兩式相加，得：f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）．
因此，③正確④不正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出抽象函數(shù)，在已知單調(diào)性和奇偶性的前提下，判斷有關(guān)不等式是否正確，考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．