Question

【題目】在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為．

（1）若是的等差中項(xiàng)，是的等比中項(xiàng)，求證：為等邊三角形；

（2）若為銳角三角形，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由是的等差中項(xiàng)可得，由是的等比中項(xiàng)，結(jié)合正弦定理與余弦定理即可得到，由此證明為等邊三角形；

（2）解法1：利用分析法，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)即可證明；

解法2：由為銳角三角形以及三角形的內(nèi)角和為，可得，利用公式展開，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到。

（1）由成等差數(shù)列，有 ①

因?yàn)?/span>為的內(nèi)角，所以 ②

由①②得 ③

由是的等比中項(xiàng)和正弦定理得，

是的等比中項(xiàng)， 所以 ④

由余弦定理及③，可得

再由④，得即，因此

從而 ⑤

由②③⑤，得

所以為等邊三角形．

（2）解法1： 要證

只需證

因?yàn)?/span>、、都為銳角，所以，

故只需證：

只需證：

即證：

因?yàn)?/span>，所以要證：

即證：

即證：

因?yàn)?/span>為銳角，顯然

故原命題得證，即．

解法2：因?yàn)?/span>為銳角，所以

因?yàn)?/span>

所以， 即

展開得：

所以

因?yàn)?/span>、、都為銳角，所以，

所以

即