Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+m（ω＞0）的最小正周期為3π，且當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角恒等變換將f（x）化簡，結(jié)合函數(shù)的最小正周期求出x的系數(shù)，根據(jù)x的范圍，求出m的值，從而求出f（x）的表達(dá)式即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=1，結(jié)合C的范圍，求出C的值，結(jié)合2sin²B=cosB+cos（A-C），得到關(guān)于sinA的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+m
=$\sqrt{3}$sinωx-2•$\frac{1-cosωx}{2}$+m
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1+m
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1+m，
∵f（x）的最小正周期為3π，即$\frac{2π}{ω}$=3π，解得：ω=$\frac{2}{3}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1+m，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，π]時(shí)，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的最大值是1+m，故1+m=1，解得：m=0，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5}{6}$π，
∴$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：C=$\frac{π}{2}$，
∴A+B=$\frac{π}{2}$，又2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A=sinA+sinA，即cos²A-sinA=0，
∴1-sin²A-sinA=0，
解得：sinA=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．