Question

用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).

Answer 1

思路分析：解決本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是由題意證明三線交于一點(diǎn),需先明確要用同一法;二是利用向量證明兩點(diǎn)重合的方法是構(gòu)造以同一點(diǎn)為起點(diǎn),這兩點(diǎn)為終點(diǎn)的兩向量相等,從而得這兩點(diǎn)重合.

證明:設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、AC、AB的中點(diǎn),

令=a,=b為基底,

則=a-b,=a-b,=-a+b,

設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G₁,且=λ,=μ,

則有=λa-b,=-a+μb.

又有=+=(1-)a+(μ-1)b,

∴

解得λ=μ=,

∴=,

再設(shè)與交于G₂,

同理求得=,

∴G₁點(diǎn)、G₂點(diǎn)重合,即AD、BE、CF交于一點(diǎn).

∴三角形三條中線交于一點(diǎn).

溫馨提示

    平面向量基本定理是向量法的理論基礎(chǔ),這個(gè)定理揭示了平面向量是由平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量“生成”的,或者說,任一平面向量均可用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量線性表示的實(shí)質(zhì),它不僅提供了向量的幾何表示方法,同時(shí)也使向量用坐標(biāo)來表示成為可能,從而架起了向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算之間的橋梁.如我們已經(jīng)證明過的結(jié)論:若A、B是直線l上任意兩點(diǎn),O是l外一點(diǎn),則對(duì)直線l上任一點(diǎn)P,存在實(shí)數(shù)t,使OP關(guān)于基底{,}的分解式為=(1-t) +t(*)并且滿足(*)式中點(diǎn)P一定在l上.

    實(shí)際上,向量等式(*)叫做直線l的向量參數(shù)方程式,其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).