Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4,).

(1)求此雙曲線的方程；

(2)若點(diǎn)M(3,m)在此雙曲線上，求證：

Answer 1

思路點(diǎn)撥：由題意先判定所求的方程形式是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再由離心率為，從而確定a、b間的關(guān)系，從而將相應(yīng)方程設(shè)出，進(jìn)而由曲線過(guò)已知點(diǎn)，從而求得方程.

解：(1)∵離心率e==，∴a=b，設(shè)雙曲線方程為x²-y²=n，∵(4,)在雙曲線上，∴n=4²-()²=6.∴雙曲線方程為x²-y²=6.

(2)∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上，則3²-m²=6，m=±，即點(diǎn)M(3,±)，×=，

∴.

［一通百通］ 涉及求有關(guān)圓錐曲線的方程問(wèn)題，求解過(guò)程中通常應(yīng)當(dāng)注意判斷相應(yīng)曲線的方程形式，否則容易出錯(cuò).有關(guān)證明向量或直線垂直問(wèn)題，通�？梢钥紤]證明對(duì)應(yīng)直線的斜率之積是-1或?qū)��?yīng)向量之積為零.