Question

設函數f（x）=

3

sin

πx

m

，若存在f（x）的極值點x₀滿足x₀²+[f（x₀）]²＜m²，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由題意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，再由題意x₀²+[f（x₀）]²＜m²，可得當m²最小時，|x₀|最小，而|x₀|最小為

1

2

|m|，繼而可得關于m的不等式，解得即可．

解答： 解：由題意可得，f（x₀）=±

3

，且

πx0

m

=kπ+

π

2

，k∈z，即 x₀=

2k+1

2

m．
再由x₀²+[f（x₀）]²＜m²，可得當m²最小時，|x₀|最小，而|x₀|最小為

1

2

|m|，
∴m² ＞

1

4

m²+3，
∴m²＞4． 
解得 m＞2，或m＜-2，
故m的取值范圍是（-∞-2）∪（2，+∞）
故答案為：（-∞-2）∪（2，+∞）

點評：本題主要正弦函數的圖象和性質，函數的零點的定義，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題