Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（-x）=f（x），且f（x+2）=f（x），當x∈[-1，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間[-1，5]內(nèi)函數(shù)F（x）=f（x）-log_ax有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （1，5）
• C． （2，3）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式和圖象，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由f（-x）=f（x）得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
由f（x+2）=f（x），得函數(shù)的周期為2，
若當x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，
即此時，f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1，x∈[0，1]，
由F（x）=f（x）-log_ax=0，則f（x）=log_ax，
作出函數(shù)f（x）和y=log_ax在區(qū)間[-1，5]上的圖象如圖：
若0＜a＜1，此時兩個函數(shù)圖象只有1個交點，不滿足條件．
若a＞1，若兩個函數(shù)圖象只有3個交點，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜f（3）=1}\\{lo{g}_{a}5＞f（5）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＜5}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．