Question

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：

①      ②M是與n無關(guān)的常數(shù).

（1）若{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，a₃=4，S₃=18，證明：{S_n}∈W

（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為，求M的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，則a₁+2d=4，3a₁+3d=18，

解得a₁=8，d=－2，

所以

由

=－1＜0

得適合條件①；又

所以當(dāng)n=4或5時(shí)，S_n取得最大值20，即S_n≤20，適合條件②

綜上，{S_n}∈W

（2）解：因?yàn)?sub>

所以當(dāng)n≥3時(shí)，，此時(shí)數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；

當(dāng)n=1，2時(shí)，，即b₁＜b₂＜b₃，

因此數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是b₃=7 

所以M≥7

（3）解：假設(shè)存在正整數(shù)k，使得成立

由數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得

因?yàn)?sub>

由

因?yàn)?sub>

依次類推，可得

設(shè)

這顯然與數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！

所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意n∈N^*,都有成立