Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn ， 且a2=2，S5=15，數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為Tn ， 且b1= ，2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an及前項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ） 求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式bn及前項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由等差數(shù)列{an}的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：S5=5a3=15，則a3=3，
d=a3﹣a2=1，
首項(xiàng)a1=1，
∴數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=1+（n﹣1）=n，
前n項(xiàng)和Sn= = ；
（Ⅱ）2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*），
則 = .，
∴ = ， = ， = × ，… = ，
∴當(dāng)n≥2時(shí)， =（ ）n﹣1 ， 即bn= ，
當(dāng)n=1時(shí)，b1= ，符合上式，
∴數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式bn= ，
∴Tn= + + +…+ ，
Tn= + + +…+ + ，
兩式相減得： Tn= + + +…+ ﹣ ，
= ﹣ ，
=1﹣ ﹣ ，
=1﹣ ，
Tn=2﹣ ，
數(shù)列{bn}前項(xiàng)和Tn=2﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：S5=5a3=15，則a3=3，d=a3﹣a2=1，a1=1，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式即可求得an及Sn；（Ⅱ）由題意可知： = ，采用累乘法即可求得數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式bn= ，利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}前項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．