Question

函數f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意義，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,對數函數的值域與最值

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：根據對數函數的性質建立不等式關系，利用參數恒成立的關系，即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），
∴若對任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意義，
則x²+2x+

a

x

＞0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a＞-x³-2x²在x∈[1，+∞）上恒成立，
設g（x）=-x³-2x²，則g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

），
則當x∈[1，+∞）時，g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

）＜0恒成立，
即函數在[1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）的最大值為g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用對數函數的性質，根據函數單調性與導數之間的關系研究函數的單調性是解決的關鍵．