Question

6．已知c＞0，設命題P：函數y=log_cx為減函數；命題Q：當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立，如果P或Q為真命題，P且Q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 由c＞0，命題p：函數y=log_c^x為減函數．可得0＜c＜1．命題q：當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）＞$\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（x+$\frac{1}{x}$）min=2，利用基本不等式即可得出c＞$\frac{1}{2}$．由p或q為真命題，p且q為假命題，可得p，q中必然一個真命題一個為假命題．解出即可．

解答 解：由c＞0，命題p：函數y=log_c^x為減函數．
∴0＜c＜1．
命題q：當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（x+$\frac{1}{x}$）_min=2，
∴$\frac{1}{c}$＜2，
又c＞0，
∴c＞$\frac{1}{2}$．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p，q中必然一個真命題一個為假命題．
①當p真q假時，0＜c≤$\frac{1}{2}$，c的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．
②當q真p假時，c≥1，c的取值范圍是[1，+∞）．
故實數c的取值范圍為：（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了指數函數的單調性、基本不等式、不等式組的解法、“或”“且”“非”命題的真假的判斷等基礎知識，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．