Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

已知雙曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是圓的圓心，圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)是圓上任意一點(diǎn).

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)；

（Ⅲ）在平面上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意的點(diǎn)有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由雙曲線(xiàn)E：，得： ，，． …2分

又圓C過(guò)原點(diǎn)，所以圓C的方程為． …………………………3分

（Ⅱ）由題意，設(shè)，代入，得，……………4分

所以的斜率為，的方程為．  ………………5分

所以到的距離為，

直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)為．

故直線(xiàn)被圓C截得弦長(zhǎng)為7． ……………………………………………………7分

（Ⅲ）設(shè)，，則由，得，

整理得．①……………………9分學(xué)

又在圓C上，所以．②

②代入①，得．    ………………………10分

又由為圓C 上任意一點(diǎn)可知，，解得．

所以在平面上存在一點(diǎn)P，其坐標(biāo)為．        …………………………12分

 

【解析】略