Question

9．如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C₁，C₂，…，C₆，直徑AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D₁，D₂，D₃，D₄，則：
（1）以這12個(gè)點(diǎn)（包括A，B）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？
（2）以這10個(gè)點(diǎn)（不包括A，B）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？其中含點(diǎn)C₁的有多少個(gè)？

Answer 1

分析 （1）構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無三點(diǎn)共線，可以分成三類，利用組合知識求解即可；
（2）分成三類，利用組合知識求解即可．

解答 解：（1）構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無三點(diǎn)共線，可以分成三類：
①四個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴個(gè)四邊形；
②三個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，另一個(gè)點(diǎn)從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹個(gè)四邊形；
③二個(gè)點(diǎn)從C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二個(gè)點(diǎn)從D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²個(gè)四邊形．
故滿足條件的四邊形共有N=C₆⁴+C₆³C₆¹+C₆²C₆²=360（個(gè)）．
（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個(gè)數(shù)為C₆³+C₆¹C₄²+C₆²C₄¹=116（個(gè)）．
其中含點(diǎn)C₁的有C₅²+C₅¹C₄¹+C₄²=36（個(gè)）．

點(diǎn)評 本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，如何分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．