Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中點(diǎn)。

（1）求證：平面BED平面SAB；

（2）求平面BED與平面SBC所成二面角（銳角）的大小。

 

Answer 1

【答案】

本題考查面面垂直的證明和二面角的求解，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力。第一問關(guān)鍵抓住垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換和判斷；第二問利用空間向量求解。

【解析】解：

（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．

∵SD＝AD，E是SA的中點(diǎn)，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．                                           …4分

（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系D—xyz，不妨設(shè)AD＝2，則

D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，

C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．

＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．

設(shè)m＝(x₁，y₁，z₁)是面BED的一個(gè)法向量，則因此可取m＝(－1，，1)．                                 …8分

設(shè)n＝(x₂，y₂，z₂)是面SBC的一個(gè)法向量，則因此可取n＝(0，，1)．                                   …10分

故平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30°．…12分