Question

已知A（3，-2，1），B（1，1，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出一個(gè)非零向量

c

，使得

c

⊥平面AOB；
（2）求線段AB中點(diǎn)M及△AOB的重心G的坐標(biāo)；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）寫(xiě)出一個(gè)非零向量

c

，要使得

c

⊥平面AOB；只要向量

c

與平面AOB內(nèi)的兩個(gè)向量的數(shù)量積都是0，即可．
（2）根據(jù)公式直接求線段AB中點(diǎn)M及△AOB的重心G的坐標(biāo)；
（3）要求△AOB的面積，只要求OA、OB的長(zhǎng)度，再求其夾角的正弦即可求解．

解答：解：（1）設(shè)非零向量

c

=（x，y，z），要使得

c

⊥平面AOB；
則

c

•

OA

=0 且 

c

•

OB

=0即3x-2y+z=0 且x+y+z=0
令 x=3 則  y=2  z=-5；非零向量

c

=（3，2，-5）
（2）線段AB中點(diǎn)M（

1+3

2

，

1-2

2

，

1+1

2

）即(2，-

1

2

，1)；
△AOB的重心G的坐標(biāo)(

1+3

3

，

1-2

3

，

1+1

3

)即(

4

3

，-

1

3

，

2

3

)．
（3）|OA|=

32+(-2)2+1

=

14

，|OB|=

3

∴cos∠AOB=

OA • OB

|0A||OB|

=

3-2+1

14 • 3

=

42

21

sin∠AOB=

399

21

S_△AOB=

1

2

×

14

× 

3

×

399

21

=

38

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的基本關(guān)系，是中檔題．