Question

1．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，AB=1，∠DAB=60°，AA₁=$\sqrt{3}$，BD中點(diǎn)為O，A₁O⊥平面ABCD，E、F分別為A₁D₁，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BB₁D₁D₁；
（2）求三棱錐A₁-BDC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點(diǎn)G，由線面平行證面面平行，再由面面平行得線面平行；
（2）利用等積法把三棱錐A₁-BDC₁的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐C₁-A₁BD的體積求解．

解答 （1）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)G，連接EG、GF，則EG∥D₁B₁，∴EG∥平面BB₁D₁D，

GF∥BB₁，∴GF∥平面BB₁D₁D，
又EG∩GF=G，∴平面EGF∥平面BB₁D₁D₁，
則EF∥平面BB₁D₁D₁；
（2）解：∵AB=1，∠DAB=60°，∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△A₁OA中，又AA₁=$\sqrt{3}$，∴∠A₁AO=60°，
則A₁C₁⊥平面A₁BD，∴A₁C₁為三棱錐C₁-A₁BD的高，等于AC=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BD•{A}_{1}O{•A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題給出底面為菱形的四棱柱，證明直線與平面平行并探求了平面與平面成直角的問題，著重考查了線面平行的判定，以及利用等積法轉(zhuǎn)化求棱錐的體積等知識，屬于中檔題．