Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)是和，并且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓的右頂點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一個定點(diǎn)，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于點(diǎn)，且分別是的中點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可以求出，再根據(jù)求出即可寫出橢圓方程及拋物線方程；（2）設(shè)直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系易得M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，寫出MN直線方程，可以看出直線過定點(diǎn).

試題解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距是，則由題意得：

， ，∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .

∴右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .

（2） ，由得

，則，所以，同理

∴，則，即

其恒過定點(diǎn)