Question

15．已知f（x）是R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x}$．
（1）求f（x）的解析式．
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）設x＜0，則-x＞0，將-x代入函數(shù)的解析式即可；（2）通過求導判斷函數(shù)的單調性即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）
當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x}$，
設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=$\sqrt{-x}$=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
證明如下：
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
得f（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調性問題，是一道基礎題．