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如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，且PA⊥平面ABCD，PD與底面成30°角．

(Ⅰ)求證：平面APB⊥平面CPB；(Ⅱ)求二面角A－PC－B的大�。�

(Ⅲ)若AE⊥PD，E為垂足，求異面直線AE與CD所成角的大�。�

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)證明：∵，∴．　　　　　1分

　　∵底面，∴．　　　　　2分

　　又∵，∴平面．　　　　3分

　　∵平面，∴平面⊥平面．　　　　4分

　　(Ⅱ) 解：作，垂足為．

　　∵平面⊥平面，平面平面，

　　∴平面．

　　作，垂足為，連結(jié)，由三垂線定理，得，

　　∴是二面角的平面角．　　　　　6分

　　∵與底面成角，∴．

　　∴．

　　∴．

　　在中，，　　　　　7分

　　在中，，　　　　　8分

　　∴在中，．

　　因此，二面角的平面角為．　　　　9分

　　(Ⅲ)設、分別為、的中點，連結(jié)、、，則．

　　∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．

　　∴或它的補角就是異面直線與所成角．　　　　11分

　　∵，∴平面．

　　又∵，∴．

　　∵，∴．

　　∵，

　　，12分

　　∴在中，．　　　　13分

　　因此，異面直線與所成角為．　　　　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求點A到面EBD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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